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Cm-003 Surface de révolution à courbure moyenne constante, avec lignes géodésiques : nodoïde.
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Cm-Min-006 Surface minimale du 9ème degré ou surface d'Enneper.
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Co-Csp-003 Les sept types principaux de courbes planes du 3ème degré, représentées sur une sphère selon Möbius. Co-Csp-003 présente les quatre premiers types, Co-Csp-004 présente les trois autres.
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Ct-003 Surface minimale de Catalan.
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Ct-Neg-004 Surface de révolution à courbure moyenne constante, avec lignes géodésiques : caténoïde.
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Ct-Neg-006 Surface de révolution à courbure totale constante négative (type conique) avec lignes géodésiques et asymptotiques.
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Ct-Neg-007 Cette pseudo-sphère a été découverte par Beltrami en 1868. C'est une surface de révolution dont la paramétrisation en coordonnées cylindriques (\(r\), \(\vartheta \), \( z \)) s'écrit :
$$z = cos\,t + ln\,tan\dfrac{t}{2},\,\,\,\, r = sin\,t$$
Sa méridienne, c'est-à-dire la courbe plane qui l'engendre par révolution autour de l'axe vertical, est une tractrice, dite aussi courbe aux tangentes égales, car telle que la longueur de la tangente entre le point de contact et une droite (l'asymptote) soit constante. Cette courbe n'est autre que celle qui a servi de profil à Gustave Eiffel pour dessiner sa tour. La courbure de cette surface de révolution est constante et égale à \( –1 \), ce qui lui vaut son appellation de pseudosphère, par analogie avec la sphère également de révolution mais de courbure constante égale à \( 1 \). Elle est localement isométrique au demi-plan de Poincaré qui est le modèle des surfaces à courbure \( –1 \). Les géodésiques, dont quelques-unes sont tracées, satisfont les axiomes de la géométrie hyperbolique. C'est le théorème de Beltrami. Figure également une courbe asymptotique, c'est-à-dire une courbe en chaque point de laquelle le plan osculateur reste tangent à la surface.
Il y a plusieurs surfaces pseudo-sphériques de révolution. On les classe en trois types selon que la méridienne coupe l'axe (type elliptique), admet l'axe pour asymptote (type parabolique), ou reste à une distance minimum strictement positive (type hyperbolique). Il s'agit donc ici d'une surface pseudo-sphérique de type parabolique.
L'allure de trompette bouchée est trompeuse. La surface s'étend à l'infini symétriquement vers le haut et le bas, et a été tronquée par commodité.
(François Apéry : Collection de cartes postales IHP - 2016)
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Ct-Neg-008 Hélicoïde de Dini. Surface hélicoïdale de courbure constante négative.
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Ct-Neg-009 Surface de Kuen. Surface de courbure constante négative avec des lignes de courbure planes, version en bois.
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Ct-Neg-014 Surface de révolution à courbure totale constante négative (type hyperboloïde) version en bois sans lignes géodésiques parallèles et cercles géodésiques.
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Cu-Dro-002 Surface diagonale avec 27 droites réelles.
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Cu-Dro-004 Surface cubique lisse non réglée avec ses 27 droites réelles.
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Cu-Poc-001 Aspect d'un point conique avec \( 0 \) plage convexe et indication de la courbe parabolique et des courbes tangentes à proximité du point d'origine.
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Cy-Dup-011 Cyclides de Dupin. Noyau seul et noyau coupé.
- a = noyau seul
- b, c = noyau coupé
- d = socle
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Gd-005 Surface engendrée par une section plane de cylindre qui roule sur un plan.
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Gd-006 Surface engendrée par une courbe d'un cylindre qui roule sur un plan.
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Gd-Can-003 Surface spirale lieu de cercles.
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Gd-Cau-001 Surface du 12ème degré. Surface caustique des rayons partant d'une ligne lumineuse après leur réflexion sur un cylindre dont l'axe touche la ligne.
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Gd-Dev-002 Hélicoïde développable. Pour \( \varepsilon = \sigma \) ; la section normale à l'axe est une développante commune de cercle.
Version en carton du modèle n°127 (XX, 1a).
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Pm-Cha-003 Transmission de la chaleur dans le temps sur un anneau.
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Pm-Cnv-003 Surface sinusoïdale donnée par la formule : \( z=\text{sin }2x+2\text{ sin }y+\text{sin }(x+y)+10 \)
Type de surface topographique à gradins.
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Po-Cat-002 13 polyèdres de Catalan : dodécaèdre rhombique.
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Po-Kep-004 4 polyèdres de Kepler-Poinsot : grand icosaèdre.
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Po-Ncn-003 Les cinq tétraèdres du dodécaèdre.
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Qd-007 Représentation en relief et en perspective d'un cube, d'une sphère, d'un cône et d'un cylindre creux, réunis sur un même support.
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Qd-Ell-001 Lignes de courbure de l'ellipsoïde et image conforme de l'ellipsoïde sur la sphère.
Ellipsoïde avec trois sections principales et dix-huit lignes de courbure.
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Qt-005 Surface du 4ème degré à une pointe.
$$y^4+y^2(2x^2+3ax+2z^2+az)+x^4-ax^3+x^2(2z^2+az)+z(z-a)^3= 0$$
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Qt-Kum-001 Surface de Kummer à quatre points doubles réels.
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Qt-Kum-002 Surface de Kummer à seize points doubles réels.
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Qt-Kum-003 Surface de Kummer à huit points doubles réels.
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Qt-Kum-010 Surface de Kummer.
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Qt-Kum-011 Surface de Kummer 12 points doubles réels.
$$(x^2-a^2)^2+(y^2-a^2)^2-(z^2-a^2)^2=0$$
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Qt-Kum-013 Surface du 4ème degré à 12 points doubles réels.
$$x^4+y^4+z^4-(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)-b^2(x^2+y^2+z^2)+b^4=0$$
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Qt-Kum-014 Surface du 4ème degré à 12 points doubles réels, et 3 à l'infini.
$$(x^2+y^2)(z^2+a^2)-2(x^2y^2+a^2z^2)=0$$
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To-Sno-004 Ruban de Möbius en bois.
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To-Sno-008 Modèle de la représentation du plan projectif sur une surface sans singularité fermée dans le fini.
Cette surface possède un minimum, un maximum et un maximum minimal et est ainsi la généralisation la plus simple de la sphère en ce qui concerne les extrêmes.
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To-Sno-009 Surface de Boy. Modèles de la représentation du plan projectif sur une surface fermée sans singularité.
Cette surface possède un axe de symétrie, de sorte que la surface coïncide avec elle-même lors d'une rotation de 120° autour de celle-ci.
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To-Sor-003 Carte sur la surface de genre 2 nécessitant 8 couleurs.
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Vc-007 Modèle sur la théorie des fonctions.
Le modèle illustre le comportement d'une fonction dans l'environnement du point de singularité essentielle, par \( 6w=e^\frac{1}{6z} \).
\( 6w=e^\frac{1}{6z} \) symbolise le point de singularité essentielle, et la partie réelle de la fonction est représentée par : \( u=\frac{1}{6}e^{x'} \cos y' \) (où \( x'=\frac{x}{6(x^2+y^2)'} \), \(y'=\frac{-y}{6(x^2+y^2)'} \), \( z=x+iy \) est fixé) tandis que la partie imaginaire \( v=\frac{1}{6}e^{x'} \sin y' \) peut être déduite de la première par une transformation du plan \( (x, y) \) par des rayons réciproques.
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Vc-012 Modèle sur la théorie des fonctions.
Le modèle illustre le comportement d'une fonction à proximité de points de ramification : pour la fonction \( w^4=1-z^2 \).
Pour la fonction w=1. Ici, les deux surfaces R et I sont identiques. On a dans notre représentation une surface s'étendant en quatre feuilles sur le plan \( z \) (du 16ème ordre), pour laquelle chaque fois deux points superposés sont affectés l'un à l'autre comme partie réelle ou imaginaire de la fonction \( w \). Les points \( z=\pm 1 \) sont des points de ramification, dans lesquels les quatre feuilles de la surface sont reliées, en \( z=\infty \) les nappes sont ramifiées par paires.
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Vc-Wei-001 Modèle sur la théorie des fonctions.
Le modèle illustre l'évolution de la fonction elliptique \( w=p(u) \) (dans la forme normale de Weierstrass) pour les invariants \( g_2=4 \), \( g_3=0 \).
Collections de l'Institut Henri Poincaré